Формула наращения

Лилия Тимофеевна ГиляровскаяПрофессор, доктор экономических наук, заведующая кафедрой бухгалтерского учета и анализа хозяйственной деятельности Всероссийского заочного финансово-экономического института
© Элитариум — Центр дистанционного образования

Коммерческие отношения в современном бизнесе связаны с принятием финансовых решений, например: при расчетах доходности на рынке ценных бумаг; оценке доходности капиталовложений в реальное производство; в связи с необходимостью учесть экономическую неэквивалентность одинаковых сумм денег в разные календарные сроки, т.е. временную стоимость денег; при обнаружении влияния инфляции на перечисленные выше процессы.

Деловой человек должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.

В данной публикации не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.

Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S0). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:

I = S0 * (1 + it),

где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.

Исходная сумма может быть рассчитана как

S0= I / (1 + it)

При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм

i = (I / S0 — 1) * (1 / t)

Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.

В банк положено 3000 руб. на срок один год шесть месяцев. Ставка простых процентов равна 20% в год. Определим наращенную сумму через полтора года.

I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.

На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:

S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.

i = (3900 / 3000 — 1) * (1 / 1,5) = 0,2 (20%)

Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.

Предположим, что ссуда, равная 10 000 руб., выдана сроком на полгода под 20% простых годовых. Простой дисконт также 20%. Тогда наращенная сумма к возврату под простой процент составит

I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.

Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую, чем в первом случае, сумму:

I = S0 / (1 — it) = 10000 / (1 – 0,2 * 0,5) = 11111 руб.

Чтобы получить на руки кредит в сумме 10000 руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору большую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.

Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:

V = 1 – d(it) = S0 / I

Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дисконт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.

И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени. Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:

S0 = I / (1 + i * t)

Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.

Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.

Пример. В первом контракте сумма обязательства составляет 20000 руб. исходя из простых 30% в год с выплатой 12000 руб. через два года, остальных 8000 руб. — через пять лет, т.е. по окончании контракта.

Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.

Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:

S(1)1 + S(1)2 = S(2)1 + S(2)2

где S(1)1 и S(1)2 — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;

S(2)1 + S(2)2 — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.

В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты. Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит:

S(1)1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;

S(1)2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;

S(2)1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;

S(2)2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.

Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:

7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.

Отсюда X руб. = (7500 + 3200 — 5384,6) * 1,9 = 10099,3 руб.

Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму — 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).

На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.

Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + i)t. Наращенная сумма исчисляется по алгоритму:

St = S0 * (1 + i)t

где S0 — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); St — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.

Предположим, что банк ежегодно начисляет сложные проценты (30%) на вклад в сумме 100000 руб. Тогда наращенная сумма через два года составит

St = 100000 руб. * (1 + 0,3)2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100000 руб. * (1 + 0,3)4 = 285610 руб.

Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годаставка сложных процентов будет равна i/m где т — число раз начисления процентов в году.

В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:

St = S0 / (1 + i/m)tm

Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е. число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит

St= 100000 руб. * (1 + 0,3/4)2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075)8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.

При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.

При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.

В финансовых расчетах с использованием сложных процентов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возможность получить тот же результат, как и при начислении процентов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспечивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.

Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где iэф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны

(1 + iэф)t = (1+im/m)mt

Отсюда эффективная ставка составит

iэф = (1+ im/m)mt – 1

Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.

iэф = (1+0,2/4)4 – 1 = 0,2155 = 21,55%

Наращенная сумма при этом составит

St = S0 * (1 + iэф)t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.

При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:

St = S0 / (1+ im/m)tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4)4 = 300 * (1,5)4 = 364,65 тыс.руб.

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм

Sинф = S0 * (1 + im/m)t / (1 + h)t

где Sинф — наращенная сумма с учетом инфляции; S0 — базовая сумма; im — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 800 тыс. руб. (S0). Номинальная годовая банковская ставка (im) равна 48%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции (h) равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через четыре месяца, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит (Sинф – S0):

Sинф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48/ 12)4 / (1+0,1)4 = 639,2 тыс.руб.

Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.

Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.

В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели.

Версия для печати
567891011

При начислении авансовых (антисипативных) процентов доход, получаемый кредитором, начисляется в начале периода финансовой операции относительно конечной суммы долга и выплачивается в момент предоставления кредита. Операция предварительного начисления процентов называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом.

Банковский, или коммерческий учет используется при операциях с векселями и другими краткосрочными обязательствами.

Суть этой операции заключается в том, что банк или другие финансовые учреждения до наступления срока платежа по векселю покупает его у владельца (векселедержателя) и берет весь риск по получению денег на себя. При этом цена, по которой банк покупает вексель, должна быть меньше той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока (т.е. цены, выплачиваемой по векселю вместе с причитающейся ему частью дисконта).

Получив при поступлении срока деньги по векселю, банк, таким образом, реализует дисконт. Прежний владелец векселя с помощью учета векселя получает деньги ранее указанного в нем срока. То есть в определенном выигрыше оказываются обе стороны сделки.

При банковском учете проценты за пользованием ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.

Применительно к учету векселя, это означает, что проценты начисляются на сумму, которую должен выплатить должник в конце срока векселя. Ставка, по которой в этом случае начисляются проценты, отличается от декурсивной ставки процентов . Она называется учетной или дисконтной ставкой и обозначается .

Напомним, что по определению учетная ставка находится как отношение:

В соответствии с этим размер дисконта, удерживаемого банком, будет равен

Расчет суммы, получаемой владельцем при учете векселя в банке, производится по формуле: Таким образом, формула банковского или коммерческого учета имеет вид:

(2.7)

Здесь – банковский дисконтный множитель.

В случае если срок финансовой операции задан в днях или в месяцах,

, (2.8)

где — срок вексельного кредита в днях (в месяцах); — число дней (месяцев в году). Обычно при вексельных расчетах принимают дней.

Очевидно, что операция учета векселя имеет смысл только в том случае, если , что равносильно неравенству . При учете векселя задолго до срока платежа по нему и при высоком уровне учетной ставки дисконт может стать настолько большим, что сумма, которую должен получить владелец векселя становится равной 0 (при ) или даже становится отрицательной (при > ). Понятно, что в этих случаях операция учета векселя лишена смысла.

Пример. Вексель выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17 ноября.

Владелец векселя учел его в банке 23 сентября по учетной ставке 20 %.Определите полученную при учете сумму (без уплаты комиссионных) и дисконт.

Решение: FV=1000 000 рублей; d=0,2.

Определим срок, до погашения векселя t: 17ноября — №321;

23 сентября — № 266. Следовательно t=266-321=55дней;

Дисконтирование по учетной ставке обычно производится по временной базе, равной 360 дням, следовательно, Y=360дней.

Таким образом, сумма, которую получил векселедержатель:

Дисконт банка составил 30556 рублей (1000000- 969444).

Простая учетная ставка может быть использована при расчете суммы, которую получит владелец векселя при его погашении в момент наступления срока платежа. Для этого следует использовать формулу определения наращенной суммы:

(13)

Пример. Вексель, учтен в банке по учетной ставке 18% годовых за 150 дней до его погашения. При этом владелец векселя получил 925000 рублей. Определите номинал векселя.

Примечание.Номинал – это сумма денег указанная на векселе, которую получит владелец векселя при его погашении в момент наступления срока платежа.

Решение: PV=925 000 рублей; d=0,18; t=150 дней.

Поднаращеннойсуммой(ссуды, долга, депозита, других видовинвестированных средств) понимаетсяпервоначальная ее сумма вместе сначисленными на нее процентами к концусрока.

ПустьP– первоначальная сумма денег, i–ставка простых процентов (выражена ввиде десятичной дроби). Начисленныепроценты за один период составят величинуPi,а за nпериодов – Pni.

Процессизменения суммы долга с начисленнымипростыми процентами описываетсяарифметической прогрессией, членамикоторой являются величины P,P+Pi=P(1+i),P(1+i)+Pi=P(1+2i),…, P(1+ni).Первый член этой прогрессии равен P,разность – Pi,а последний член, определяемый как

S= P(1+ni),(1.3)

являетсянаращенной суммой. Формула (1.3) называетсяформулойнаращения по простым процентам.Множитель (1+ni)называется множителем наращения, которыйпоказывает, во сколько раз наращеннаясумма больше первоначальной.

Наращеннуюсумму Sможно представить в виде двух слагаемых:первоначальной суммы Pи суммы процентов I,где I=Pni.Процесс роста суммы долга по простымпроцентам легко представить графически(рис. 1).

При начислениипростых процентов по ставке iза базу берется первоначальная суммадолгаP. НаращеннаясуммаS растетлинейно от времени.

Пример1. Ссудавеличиной 10000 рублей выдана на 1,5 годапри ставке простых процентов, равной14% годовых. Определить величину процентногоплатежа и сумму накопленного долга.

Решение.I=Pni=10000·1,5·0,14=2100руб. – проценты за 1,5 года;

S=P+I=10000+2100=12100руб. или S=P(1+ni)=10000·(1+1,5·0,14)=10000·(1+0,21)==12100 руб. – наращенная сумма.

1.4. Практика начисления простых процентов

Начислениепростых процентов обычно используетсяв двух случаях: (1) призаключении краткосрочных контрактов(предоставление краткосрочных кредитови т.п.), срок которых не превышает года(n1); (2) в случае, если проценты неприсоединяются к сумме долга, апериодически выплачиваются.

Ставкапроцентов обычно устанавливается врасчете за год, поэтому при продолжительностиссуды менее года необходимо выяснить,какая часть процента уплачиваетсякредитору. Для того, чтобы найтивыплачиваемую часть процента, величинуnвыражают вдолях года, например, если известночисло дней, то nвыражают ввиде дроби

, где n– срок ссуды, измеренный в долях года;

t– срок операции (ссуды) в днях;

K– число дней в году (временная база).

Возможны нескольковариантов расчета процентов, различающихсявыбором временной базы и способомизмерения срока пользования ссудой.

Еслиза базу берут год, условно состоящий из360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом), тоговорят, что вычисляют обыкновенныйили коммерческийпроцент. Вотличие от него точныйпроцент получают,когда за базу берут действительноечисло дней в году (365 или 366).

Определениечисла дней пользования ссудой такжеможет быть точным или приближенным. Впервом случае вычисляют фактическоечисло дней между двумя датами, во втором– продолжительность ссуды определяетсячислом месяцев и дней ссуды, приближенносчитая все месяцы равными, содержащимипо 30 дней. В обоих случаях деньвыдачи и день погашения считаются заодин день.

Итак, возможны 4варианта расчета простых процентов, 3из них применяются на практике:

  1. точные процентыс точным числом дней ссуды (схема365/365, британская практика). Этот вариантдает самый точный результат.

  2. обыкновенныепроценты с точным числом дней (схема365/360, французская практика). Этот вариантдает несколько больший результат, чемприменение точных процентов. Надозаметить, что если число дней ссудыпревышает 360, то данный способ приводитк тому, что сумма начисленных процентовбудет больше, чем предусматриваетсягодовой процентной ставкой.

  3. обыкновенныепроценты с приближенным числом дней(схема 360/360, германская практика). Данныйметод применяется в случае, когда нетребуется большой точности (например,при промежуточных расчетах).

Очевидно, чтовариант расчета с точными процентамии приближенным числом дней ссуды лишенсмысла и не применяется.

Пример2.Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до5.10 включительно под 18% годовых. Какуюсумму должен заплатить должник в концесрока при начислении простых процентов?

Решение.При решении применим все три метода.Предварительно определим число днейссуды t.Точное число дней: (31-20)+28+31+30+31+30+31+31+30+5==258, приближенное – (30-20)+30*8+5=255.

  1. Точные процентыс точным числом дней ссуды (365/365).

S=1000000·(1+(258/365)·0,18)=1127232,88руб.

  1. Обыкновенныепроценты с точным числом дней ссуды(365/360).

Добавить комментарий